*543. Дисконтирование: время – не просто деньги, у него есть цена

[Слон]

http://slon.ru/business/diskontirova...a-789785.xhtml

17.05.2012, 19:04


Юрий Аммосов


Mark Wagner

Расчет денежного потока, как было сказано ранее, имеет две цели. Первая цель – это дать руководству фирмы возможность рассчитать, какое финансирование необходимо фирме и на какое время его хватит. Вторая цель – дать возможность оценить фирму методом DCF (дисконтированных денежных потоков). Рассмотрим логику дисконтирования.

Первый и главный фактор цены денег – время. Бенджамину Франклину, который известен не только как ученый и революционер, но и как литератор-моралист, приписывается высказывание «Время – деньги». Хотя в нашу культуру это выражение вошло в своем метафорическом значении «Не ленись, а зарабатывай», у него есть и прямой смысл.

Неденежные ресурсы приобретаются путем обмена на деньги, поэтому выразить цену денег в деньгах можно через понятие аренды. Деньги нельзя купить, но можно взять в пользование, оплатив право этого пользования. Основных форм аренды денег две: это кредит и инвестиции. И в том, и в другом случае предполагается, что фирма, пользующаяся деньгами, обеспечивает своих бенефициаров (букв. «дающих благо») той или иной формой дохода (процентными выплатами, дивидендами, возможностью продать актив дороже) сообразно времени, в течение которого фирма пользуется деньгами бенефициаров. Доходность кредита или инвестиций и есть цена времени, выраженная в деньгах.

С концепцией цены денег как функции от времени человечество до сих пор не пришло к окончательному согласию. Христианство в средние века запрещало ссудный процент на том основании, что «время – божье», а ислам запрещает его и сейчас. Однако потребность в создании финансовой системы сильнее, и католики времен крестовых походов передоверили ссудный бизнес нехристям-иудеям, а современные мусульмане разработали сложную систему юридически сложных, но богословски приемлемых деривативов, призванную эмулировать процентный доход в «исламском банкинге». Обойтись без платы за деньги невозможно, как бы она ни возмущала поборников социальной справедливости, потому что ценные ресурсы не бывают даровыми – будь это так, в нашем мире нарушался бы второй закон термодинамики и в конечном итоге законы сохранения. Бесплатны только хаос и энтропия, а любой порядок требует усилий по его сохранению. Экономика существует благодаря именно тому, что деньги имеют цену, – это стимулирует экономических агентов искать наиболее доходные способы их применения. Ресурс, достающийся даром, будет потрачен бездарно – тому примерами и знакомое всем загрязнение «ничьих» воздуха и воды, и судьба «социалистических» режимов Восточного блока, и судьбы многих богатых наследников, родившихся в изобилии, а умерших в нищете. Плачевные последствия неуместного изобилия, по счастью, человечеством осмыслены хорошо, от мифа о царе Мидасе и сказок о джиннах лампы до кинофильмов про ограбления банков и всемогущих, но нравственно измученных супергероев. Только ценный ресурс может быть распределен настолько эффективно, насколько это представляется людям.

Второй фактор цены денег – это «цена возможности», то есть мера максимальной доступной эффективности их применения. Цена любого ресурса – понятие не абсолютное, а относительное и определяется тем, какие возможности этот ресурс дает. Цена воды в пустыне и посреди озера – разная. Цена автомобиля в салоне и цена автомобиля без топлива за 1000 километров от ближайшей заправки – разная. Цена денег также определяется всеми доступными альтернативами по извлечению экономической стоимости. Если единица денег расходуется, этот расход совершается затем, чтобы принести тому, кто его производит, или прямую пользу (в виде товара или услуги), или большую сумму денег. В идеальной экономике ограниченное количество денег распределяется так, чтобы максимизировать получаемую этим распределением экономическую выгоду. Таким образом, арендная ставка по деньгам – функция от инвестиционных и кредитных возможностей экономик.

Упрощенно, «цену возможности» можно рассматривать как функцию от спроса и предложения денег: когда денег в экономике много, а возможностей для надежного кредитования и продуктивного инвестирования мало, цена денег низка. Когда желающих получить деньги много, а денег мало – цена денег, напротив, растет.

Третий фактор цены денег – это фундаментальные свойства получателя денег, то есть фактически мера инвестиционного и кредитного риска. Этот фактор мы рассмотрим подробно через несколько разделов.

Из концепции «аренды денег» следует вывод о том, что одна и та же сумма денег в настоящем и будущем неравноценна для их обладателя. Деньги в настоящем дороже будущих, а деньги в будущем дешевле настоящих на величину рентного дохода, которые их владелец может извлечь из них – или мог бы, но не извлек.

Введем понятия «текущей стоимости» (PV – present value) и «будущей стоимости» (FV – future value).
PV – это значение, которому равна сумма денег в текущий момент времени (0).
FV (n) – это значение, которому равна сумма денег в будущий момент времени n, где n = числу учетных периодов, прошедших с момента 0.

Предположим, что r – это цена денег за 1 учетный период. Тогда PV и FV могут быть связаны формулой следующего вида:

FV = PV × (1+r)^n

PV = FV / (1+r)^n

Операция приведения будущих денежных потоков к текущей стоимости называется «дисконтированием» (от «discount» – скидка, сокращение). PV в русском языке по способу ее получения из «будущей стоимости» могут также называть «приведенной стоимостью» или «дисконтированной стоимостью».

Чтобы наглядно представить себе, как с течением времени растет стоимость текущих или падает стоимость будущих денег, отложим их на графике. Допустим, что нам пообещали одну денежную единицу через n лет. Если мы могли бы вложить сейчас эти деньги в банк под 10% годовых (r = 10%), то на сколько процентов от обещанной суммы мы беднее сейчас?


Итак, будущая стоимость денег в случае их стоимости в 10% сокращается от 90,91% от текущей через год до 5,73% через 30 лет. Этот график также хорошо объясняет, почему ценные бумаги сроков в 30 лет и более так редки: 30 лет с инвестиционной точки зрения практически не отличаются от вечности, поскольку такие удаленные денежные потоки стремятся к нулю в текущем выражении.

А если б мы могли получить одну денежную единицу сейчас и вложить ее в банк под 10% годовых, то сколько выплатит нам банк через n лет?



Этот последний график (на котором на самом деле изображена обычная экспоненциальная функция) настолько владеет умами людей, что еще столетия назад философы ставили умственные эксперименты про «грош Цезаря». Юлий Цезарь, который, как известно, жил свыше 2000 лет назад, мог бы оставить современным наследникам состояние, превышающее стоимость всей Солнечной системы, если б вложил один римский асс (мелкая медная монета, «грош») в банк под 3%. Множество фантастов, от Герберта Уэллса («Когда спящий проснется») до авторов «Футурамы» («Рыбка из долларов») обыграли в разных видах сюжет о «гроше Цезаря». Разумеется, этот эксперимент не учитывает ни падение покупательной способности денег, ни войны и мятежи, которые за тысячелетия могли б разорить исходный банк, но он хорошо показывает эффект «сложного процента», когда процентный доход начисляется и на первоначальные накопления.

[Слон]

http://slon.ru/business/privedennaya...i-791505.xhtml

Юрий Аммосов
В этом разделе мы рассмотрим понятие чистой приведенной стоимости (net present value – NPV). Если PV – это стоимость в текущий момент времени единичной будущей денежной суммы, то NPV – это совокупная стоимость в текущий момент денежного потока, то есть двух и более денежных сумм.

Математически, NPV денежного потока из n платежей является полиномом степени n. Для денежного потока из платежей, совершаемых через равные временные периоды числом n {C1; C2; … Cn}, где С – произвольная сумма платежа, и ставки дисконтирования за период, равной r, NPV выражается как:

NPV (n, r) = nΣi=1 ( Ci / (1-r)i )

Рассмотрим, из чего складывается NPV, на наглядном примере. Предположим, что у нас есть денежный поток, включающий в себя один платеж в момент времени 0 в сумме -10 денежных единиц, 9 платежей в размере 10 в течение периодов 1–9 и платеж в сумме 10 в период 10 (всего 11 платежей).

Нашим первым предположением будет, что перед нами типичная купонная облигация с 10%-ным купоном. Разумеется, это не единственный возможный реальный финансовый эквивалент платежной суммы. Этот же денежный поток можно рассматривать и как акционерную инвестицию, где акционер приобрел у фирмы акции на сумму 100, получал по ним периодический дивиденд в сумме 10 и через 10 периодов продал эти акции другому лицу. Это может быть и рентный доход, когда арендодатель провел ремонт помещения стоимостью в 100, затем в течение 9 периодов сдавал помещение за 10 в период и по окончании срока аренды продал помещение за 100 (или, допустим, взыскал с арендатора 100 за ущерб, нанесенный помещению в течение срока аренды). Все эти деловые сценарии будут представлены идентичным денежным потоком.

Теперь дисконтируем этот ряд платежей под три различных периодических ставки – соответственно 5%, 10% и 15%. Сумма дисконтированных платежей в каждом случае составит NPV этого денежного потока под данную ставку дисконтирования.

Период Номинальный платеж Дисконтированные платежи

Ставки дисконтирования ->
5% 10% 15%
0 -100 (100.00) (100.00) (100.00)
1 10 9.52 9.09 8.70
2 10 9.07 8.26 7.56
3 10 8.64 7.51 6.58
4 10 8.23 6.83 5.72
5 10 7.84 6.21 4.97
6 10 7.46 5.64 4.32
7 10 7.11 5.13 3.76
8 10 6.77 4.67 3.27
9 10 6.45 4.24 2.84
10 100 61.39 38.55 24.72
NPV -> 32.47 (3.86) (27.57)

Обратим внимание, что NPV приобретает положительное значение при ставке r = 5%, отрицательное значение при r = 15% и незначительно отличается от нуля в отрицательную сторону при r = 10%. Последнее наиболее интересно: ведь, казалось бы, 10%-ный купонный доход должен полностью компенсировать доходность в 10%? Но в этом денежном потоке последний платеж покрывает только основную сумму начальных затрат получателей платежа, а 10%-ный доход на него отсутствует. Если мы заменим финальный платеж со 100 на 110 денежных единиц – NPV при дисконтировании под 10% обратится в ноль.

Период Номинальный платеж Дисконтированные платежи
Ставки дисконтирования -> 5% 10% 15%
0 -100 (100.00) (100.00) (100.00)
1 10 9.52 9.09 8.70
2 10 9.07 8.26 7.56
3 10 8.64 7.51 6.58
4 10 8.23 6.83 5.72
5 10 7.84 6.21 4.97
6 10 7.46 5.64 4.32
7 10 7.11 5.13 3.76
8 10 6.77 4.67 3.27
9 10 6.45 4.24 2.84
10 110 67.53 42.41 27.19
NPV -> 38.61 – (25.09)

Для дальнейшей наглядности отложим дисконтированные и номинальные суммы платежей этого денежного потока на одном графике. Мы видим, что от номинальной суммы платежей их дисконтированное значение под 5% составляет большую долю, чем дисконтированное значение под 10% и далее под 15%.


Итак, что значение NPV обратно пропорционально ставке дисконтирования: чем значение r ниже, тем NPV выше. Кроме того, из предыдущего раздела мы помним, что приведенная стоимость также обратно пропорциональна продолжительности периода n. Сумма в 100 единиц в зависимости от периода и ставки дисконтирования дисконтируется к следующей сумме:


В приведенном примере мы рассматривали денежные потоки, где платежи происходят через равные периоды. Это не обязательное условие расчета NPV – она может быть рассчитана для денежного потока с любыми интервалами между платежами. Для расчета NPV такого денежного потока можно либо дисконтировать его по эффективной дневной ставке, либо привести все интервалы к периоду ставки путем пересчета их в дробный вид. Скажем, интервал в 45 дней при использовании месячной ставки можно представить как 1,5 месяца. Excel содержит в себе две функции для расчета NPV – NPV () для расчета NPV платежей через регулярные интервалы, равные периоду дисконтирования, и XNPV () для расчета NPV платежей с произвольными датами.

В чем финансовый смысл NPV ? Иными словами, для чего финансовый аналитик рассчитывает его? NPV можно представить себе как эквивалент суммы, на которую бенефициар денежного потока становится богаче или беднее в данный момент времени, когда он соглашается на него, при условии, что он точно знает, во что ему обходится его собственный капитал. Если NPV отрицательна – то согласиться на участие в данном финансовом потоке для бенефициара все равно, что просто выбросить эту сумму. В обратном случае, при положительном значении NPV, он все равно что разбогател на эту сумму здесь и сейчас.

А кто является бенефициаром денежного потока? И тут очень важно понимать, что, когда NPV используется в принятии инвестиционного решения, ее возникновение – это результат транзакции между двумя лицами. Это может быть стартап и его будущий инвестор. Это может быть управляющий инвестфондом и его доверители. Это может быть трейдер-арбитражер, берущий «кредитное плечо», чтобы выстроить сложный структурированный продукт с хеджированием рисков, сложными комплексными деривативами и так далее. У любого платежа всегда две стороны, и денежный поток одного лица – это инвертированный денежный поток другого. Что для инвестора в стартап минус – для основателя стартапа плюс. А что плюс для инвестора – минус для основателя. Скажем, инвестор купил за 1 000 000 денежных единиц 25% акций стартапа и продал их через год за 2 000 000. Инвестор расстается с суммой, предприниматель ее получает. А через год наоборот – инвестор получает деньги, которых предприниматель лишился вследствие сделки с инвестором. Таким образом, выгода одного равна убытку другого.

Спрашивается, почему же тогда люди вообще заключают сделки? Краткий ответ на этот вопрос – стоимость капитала двух лиц в транзакции практически всегда неравна, поскольку в случае заключения сделки каждое из лиц рассчитывает заработать больше, чем теряет, – по своим причинам. Отказ от сделки каждому из участников выгоден еще менее, чем ее совершение. Это следствие обмена ограниченным ресурсом – деньгами. Положительное значение ожидаемого NPV от сделки для инвестора означает для предпринимателя возможность выговорить для себя более выгодные условия, не оттолкнув инвестора.

Но NPV сама по себе еще не является критерием инвестиционного решения: выгода от сделки, которую она показывает, может быть как нереально большой, так и неприемлемо малой. Мера этой приемлемости прямо связана с понятием стоимости денег. В следующем разделе мы подробно рассмотрим, как стоимость денег влияет на инвестиционное решение.

[ТОО Международная планета обучения]

https://www.youtube.com/watch?v=Ds4WYkEeek4

[FinMechanics]

https://www.youtube.com/watch?v=aQEfFWxOkBI

24 317 просмотров 11 дек. 2017 г.
Немного терминологии и базовых понятий для бизнес-финансов: стоимость денег и время. Будущая и текущая стоимость.