5513. Рациональный коллективный выбор

[Дуглас Х. Блэйр, Роберт Э. Поллак]

http://antisocialist.ru/papers/bleyr...vnyy.vybor.htm

С помощью аксиоматического анализа исследовалась проблема совместимости нескольких желательных свойств идеального метода коллективного выбора. Компромисс между рациональностью, способностью решать и равенством кажется неизбежным

МОЖНО ли создать такую систему голосования, чтобы она была рациональной, решающей и демократичной одновременно? Специалисты в области общественных наук, философы и экономисты (в том числе и авторы этой статьи), исследовавшие этот вопрос, склоняются к отрицательному ответу. Перечисленные характеристики идеальной системы голосования на самом деле несовместимы. Способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Систематически проводимый анализ этой дилеммы привел к более глубокому пониманию существующих систем голосования и со временем может привести к открытию более совершенных систем.

Аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования начал проводить 33 года назад экономист Кеннет Дж. Эрроу из Станфордского университета. Он выдвинул пять привлекательных для интуитивного толкования аксиом, которым должна удовлетворять любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение, и доказал, что единственные процедуры, которые отвечают всем этим аксиомам, сосредоточивают всю власть в руках одного индивидуума. Нельзя найти метод, удовлетворяющий всем аксиомам Эрроу, который не был бы диктаторским - и не за недостатком изобретательности, а потому что такового не существует. Эта работа была в числе тех, за которые Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике в 1972 г.

В течение последних 15 лет ученые не переставали исследовать аксиомы Эрроу в попытке обойти его "теорему невозможности", стремясь ослабить сформулированные им требования. Эта проблема вызвала широкий интерес, поскольку она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук. Перед философами она встает, например, при анализе практического значения утилитаризма - этической доктрины, утверждающей, что правильность действий зависит от их последствий для народного благоденствия, и, таким образом, требующей найти метод для объединения индивидуальных предпочтений. Ученые, занимающиеся общественными науками, встречают эту проблему при определении или оценке правил голосования для комитетов или законодательных органов. Экономисты сталкиваются с ней при изучении нормирования и других нерыночных методов распределения ресурсов. Эта задача очень важна в нормативных экономиках, поскольку при определении допустимых границ вмешательства правительства в сферу действия свободного рынка решающим является понимание потенциального спектра альтернатив - вплоть до полного невмешательства.

ПРИНЦИП большинства голосов заслуживает, чтобы его рассмотрели в первую очередь среди прочих процедур объединения индивидуальных предпочтений. В числе его достоинств - простота, равноправие и весомость, обусловленная традицией. По существу принцип большинства - это процедура сопоставления пар кандидатов или альтернатив. Однако при сопоставлении более двух альтернатив принцип большинства сталкивается с трудностью, на которую еще 200 лет назад указывал маркиз Кондорсе.

Рис. 1. ПАРАДОКС ГОЛОСОВАНИЯ может возникнуть при голосовании по принципу большинства, когда голосующие с противоположными предпочтениями должны выбирать из более чем трех альтернатив. Парадокс описывается для комитета, выбирающего одного кандидата, или альтернативу, из трех: х, у и z. В итоге получается цикл: х побеждает у, у побеждаетz и z побеждает х - двумя голосами против одного. Такая проблема заставила Кеннета Дж. Эрроу из Станфордского университета предложить пять аксиом, которым должна удовлетворять процедура голосования.

Отмеченная Кондорсе трудность ныне известна под названием "парадокса голосования". Предположим, что комитет, состоящий из Тома, Дика и Гарри, должен расположить в порядке предпочтения трех кандидатов x, у и z. Том располагает их х, у, z, Дик - у, z, x, а Гарри - z, х, у. Подсчет голосов по принципу большинства для выбора из пар кандидатов приводит к циклу: х побеждает у, у побеждает z, a z побеждает х - все двумя голосами против одного. Этот цикл является простейшим примером парадокса голосования Кондорсе.

Специалисты в области общественных наук установили много исторических случаев циклов голосования. Например, Уильям X. Райкер из Рочеегерского университета утверждал, что принятие 17-й поправки, предусматривающей прямые выборы членов сената США, оттягивалось в течение 10 лет парламентскими маневрами, связанными с циклами голосования, которые включали в себя три альтернативы: статус-кво (назначение сенаторов законодательным органом штата) и две версии поправки.

Когда возможно более двух альтернатив, нужен новый принцип для проведения выборов из попарных упорядочений. Конфигурации предпочтений, которые приводят к парадоксу голосования, создают трудность при каждом естественном подходе. Простейший метод состоит в выборе альтернативы, которая не побивалась бы никакой другой. Однако при наличии парадокса голосования такой альтернативы не существует, поскольку каждая альтернатива, или кандидат, проигрывает какой-либо другой.

Второй способ перехода от попарного упорядочения к выборам состоит в определении последовательности, в которой берутся пары альтернатив. Например, последовательность может предусматривать вначале голосование за х или у, а затем за победившего кандидата или z. При этой последовательности комитет, состоящий из трех членов, вначале проголосует за х против у, а на втором этапе z победит х. Легко проверить, что при любой из трех возможных последовательностей в этой ситуации альтернатива, рассмотренная последней, победит: последовательность предопределяет результат. Таким образом, циклы голосования представляют собой трудность не только внешне, но и по существу. Когда случается цикл, выбор окончательного победителя в лучшем случае произволен (если последовательность выбрана случайным образом), а в худшем случае определяется махинациями того, кто задает последовательность.

Другие возможности для стратегических маневров возникают, когда голосующий может изменить последовательность голосования введением новых альтернатив. Предположим (при том же самом комитете), что z представляет собой статус-кво, а у- альтернативу, образовавшуюся в результате внесения предположения. При этих двух единственных возможных альтернативах у победит z, и Гарри (который предпочитает кандидата z кандидату y), будет разочарован. Однако если он сможет внести поправку х к предложению y, то х победит у при первоначальном голосовании, а на втором этапе х проиграет z. Таким образом, Гарри добьется принятия предпочитаемой им альтернативы.

Даже если нельзя ввести новые альтернативы, а последовательность невозможно изменить, голосующие могут воспользоваться в своих целях неправильным представлением своих предпочтений. Снова рассмотрим последовательность, при которой z берется в последнюю очередь. Если каждый член комитета голосует в соответствии со своим истинным предпочтением при каждом голосовании, выигрывающая альтернатива z стоит на последнем месте среди предпочтений Тома. Предположим, однако, что Том голосует за у вместо х в первоначальном голосовании, тогда у побеждает, побивая z на втором этапе. Таким приемом он заблокировал выбор альтернативы, которая ему нравилась меньше всего.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают, либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в нашем примере, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив.

По необходимости Эрроу выбрал вместо этого аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор "конституции", т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, низшей или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные). Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам. Первая аксиома Эрроу - универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу - аксиома единогласия, управляет действием конституции, когда нет несогласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигураций предпочтений, при которых каждый индивидуум предпочитает альтернативу х альтернативе у, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.

Третья аксиома Эрроу - независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы ни менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений х и у остается неизменным, коллективное упорядочение х и у также не меняется. Из этого условия следует, например, что коллективное упорядочение кандидатур Р. Рейгана и Дж. Картера не зависит от того, каковы индивидуальные упорядочения Эдварда Кеннеди по отношению к двум первым или к Уолтеру Мондейлу.

Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях непредставленных альтернатив несущественна для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения х и у и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении х и у.

Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условие независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, при передаче информации комментаторами по телефону). Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

Предположим, однако, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с х, у, z на х, z, у. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения х и y, описываемая нами процедура дает теперь коллективное упорядочение х по отношению к у, поскольку х по-прежнему получает шесть баллов, а у получает пять баллов. Следовательно, при таком голосовании коллективное упорядочение х и у зависит не только от того, как индивидуумы их упорядочивают, но также и от относительных позиций других альтернатив, таких как z.

ЧЕТВЕРТУЮ и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения. Р обозначает строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению "больше" между парой действительных чисел), I обозначает коллективное безразличие (аналогичное равенству), и R обозначает отношение слабого коллективного предпочтения (аналогичное отношению "больше или равно"). Таким образом, выражение xRy означает "x коллективно по меньшей мере так же хорошо, как у", т.е. либо хРу, либо xIy.

Четвертая аксиома Эрроу - это аксиома полноты: для каждой пары альтернатив х иу должно выполняться либо xRy, либо yRx (либо оба вместе; в этом случае x и .у безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является по-видимому относительно безобидным требованием.

Пятая аксиома, R-транзитивность, требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивно: формально если xRy и yRz, то xRz. Примеры транзитивных отношений над парами действительных чисел: "больше" (>), "равно" (=) и "больше или равно" (?). Так, если число х больше, чем у, и у больше, чем z, то х должно быть больше, чем z. В экономических исследованиях полнота и R-транзитивность являются условными соглашениями и индивидуумы, чьи предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, называются "рациональными". Эрроу расширил это понятие до понятия "коллективная рациональность" для описания конституций, удовлетворяющих аксиомам полноты и R-транзитивности. Он ввел Р-транзитивность для обеспечения независимости выбранной альтернативы от последовательности, т.е. пути, которым она достигается.

Рис. 2. Р-ТРАНЗИТИВНЫЕ КОНСТИТУЦИИ - это такие правила голосования, при которых из хРу и yPz следует xPz. Все такие конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, нейтральны, т.е. они упорядочивают пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность означает, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив u и v следует, что u коллективно предпочитается v, то из той же конфигурации упорядочений х и у следует, что х коллективно предпочитается у. Описывается доказательство этого факта для двух голосующих. Предположим, что для альтернатив u и v Энн преобладает над Биллом при этой конституции, если она u предпочитает v. Альтернативы х и у они упорядочивают по-разному. Для такой конфигурации по аксиоме единогласия Эрроу хРu, по предположению, что Энн преобладает для u против v, uPv и в силу аксиомы единогласия vPy. При Р-транзитивности следует, что хРу для этой частной конфигурации предпочтения. Аксиома независимости Эрроу, однако, позволяет сделать более общее заключение, чем то, что Энн преобладает для х против у, независимо от позиций u и v в ее упорядочении или упорядочении Билла. (Аксиома независимости устанавливает, что коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих двух альтернатив.)

Определив и обосновав эту систему пяти желательных свойств, Эрроу доказал, что единственные конституции, удовлетворяющие всем этим свойствам, обладают простым и удивительным недостатком: каждая из них является правилом диктатора. Диктатор - это личность, обладающая властью навязывать обществу свое строгое предпочтение для любой пары альтернатив. Эрроу сформулировал свою теорему в несколько иной форме. Он добавил шестую аксиому, об отсутствии правила диктатора, и доказал, что не существует конституции, которая удовлетворяла бы всем шести аксиомам. По этой причине вывод Эрроу часто называют "теорема невозможности".

Рис. 3. ТЕОРЕМА О ДИКТАТОРЕ Эрроу доказана здесь для двух голосующих. Описывается одна возможная конфигурация упорядочения предпочтений для Энн и Билла; в каком квадранте находится каждая альтернатива, зависит от того, как оба голосующих ее упорядочивают относительно альтернативы х. Квадрант 1 содержит те альтернативы (такие, как у), которые они оба предпочитают х; квадрант 2 - те, которые Билл предпочитает х, а Энн не предпочитает; 3 содержит те альтернативы, которые ни один из них не предпочитает х, а 4 - те, которые Энн предпочитает х, а Билл нет. Из свойства нейтральности транзитивных конституций следует, что каждая альтернатива в квадранте должна быть упорядочена коллективно таким же способом по отношению к х. Из этого же свойства вытекает, что это рассуждение не зависит от какой-нибудь конкретной альтернативы, определяющей квадранты. Квадрант 2 не может содержать альтернативы, безразличные к х, потому что тогда было бы для обоих голосующих ulx и xlw. Таким образом, в силу I-транзитивности ulw, что противоречит аксиоме единогласия, поскольку оба голосующих предпочитают альтернативу и альтернативе w. Аналогичным образом квадрант 4 также не может содержать альтернатив, безразличных к х. Квадранты 2 и 4 оба не могут содержать альтернатив, предпочитаемых х или худших, чем х, поскольку из нейтральности следует, что если uРх, то xPv, поскольку голосующие упорядочили u и х и х и v одинаково. Так как из аксиомы единогласия Эрроу следует, что в квадранте 1 содержатся альтернативы, которые предпочитаются х, а альтернативы из квадранта 3 безразличны по отношению к х, пять аксиом Эрроу совместны лишь с двумя конституциями: если альтернативы из квадранта 4 лучше х, а из квадранта 2 хуже х, то Энн - диктатор. Если же в квадранте 2 альтернативы предпочитаются х, а в квадранте 4 альтернативы худшие х, то диктатором будет Билл. Доказательство Ч. Блэкорби, Д. Доналдсона и Д. Веймарка.

Таким образом, составителю процедуры голосования для законодательных органов, комитетов и клубов, который принимает эти условия в качестве необходимых свойств конституции, просто не везет. Внешне скромные требования Эрроу имеют веские и неприятные последствия. Как показывает его теорема невозможности, пять этих свойств очень ограничительны; хотя они и привлекательны по отдельности, в комбинации они пагубны. Теоретики, исследующие процедуры голосования, приложили немало усилий для пересмотра этих аксиом в поисках обходного пути, чтобы избежать неудобных выводов Эрроу.

ВПОЛНЕ оправданным является довод, что аксиома универсальности слишком претенциозна. Не все логически возможные конфигурации упорядочения предпочтений являются одинаково вероятными. Поскольку некоторые конфигурации могут быть крайне неправдоподобными, требование, чтобы конституция непротиворечиво объединяла все логически возможные конфигурации для получения коллективного упорядочения, по-видимому, чрезмерно сильное. Наиболее распространенная стратегия для ослабления этого требования состояла в том, чтобы, сосредоточившись на какой-нибудь частной процедуре, например принципе большинства, поискать ограничения, которые исключают те конфигурации предпочтения, из которых следует нетранзитивное коллективное предпочтение. Например, если могут возникнуть лишь те конфигурации предпочтений, в которых нет разногласий между индивидуумами, то аксиома универсальности определяла бы коллективные предпочтения и проблема нетранзитивности не могла бы возникнуть. Хорошо известное нетривиальное ограничение, обнаруженное в 40-е годы английским экономистом Данкэном Блэйком, состоит в том, что выбор производится согласно единственному критерию. В этом случае при любом попарном выборе каждый индивидуум голосует за альтернативу, наиболее близкую к его излюбленной позиции. Например, каждый избиратель может упорядочить кандидатов в соответствии с тем, насколько близко они находятся к его собственной позиции в политическом спектре от либерализма до консерватизма. Таким образом, если кандидат х более либерален, чем .у, а у либеральнее, чем z, общество с единственным критерием выбора, содержащее либералов (х, y, z), консерваторов (z, у, х) и умеренных (у, х, z или .у, z, х), не должно содержать индивидуумов, для которых средняя альтернатива расположена за двумя крайними (х, z, у и z, х, у). Если можно ожидать на практике единственность критерия, то этот случай очень хорошо подчиняется принципу большинства. Однако обычно избиратели упорядочивают кандидатов в соответствии с многими критериями, и поэтому случай одного критерия не осуществляется.

В более общем случае стратегия наложения ограничений на конституции может быть успешной, только если эти ограничения правдоподобны в смысле теории образования предпочтений или структуры предпочтений. Однако специалисты в области общественных наук не преуспели в деле формального моделирования роли социализации в развитии вкусов и системы ценностей, а также степени близости предпочтений, необходимой для социальной стабильности.

Таким образом, несмотря на значительные усилия, еще не сформулированы характеристики возможных способов упорядочения, достаточно широкие, чтобы охватить реальные предпочтения избирателей, и в то же время достаточно узкие, чтобы избежать выводов о правиле диктатора.

Возможность отказаться от аксиомы единогласия не вызвала большого энтузиазма. При критическом пересмотре аксиома единогласия кажется довольно слабым требованием, налагаемым на механизм объединения индивидуальных предпочтений для образования коллективного предпочтения. Роберт Уилсон из Станфордского университета показал, что единственная дополнительная конституция, удовлетворяющая всем аксиомам Эрроу, кроме аксиомы единогласия, еще менее привлекательна, чем правило диктатора. В частности, появляются две новые возможности. Первая возможность - это всеобщее безразличие, правило, согласно которому любая пара альтернатив постоянно безразлична относительно того, как индивидуумы их упорядочивают. Вторая возможность - это "диктатура наизнанку", правило, при котором за коллективное упорядочение принимается некоторое обратное упорядочение индивидуальных предпочтений. Этот метод окажется полезным организованному обществу, только если найдется избиратель с безусловно плохим суждением.

Аксиома независимости вызвала на себя сильный огонь критики в первое десятилетие после того, как Эрроу опубликовал свои результаты, но сейчас критика этой аксиомы утихла. Оригинальное обоснование Эрроу этого условия состояло в том, что конституции, удовлетворяющие ей, могут быть приняты без предварительного сбора огромной информации о предпочтениях. Чтобы упорядочить альтернативы х и у, нет нужды уточнять позицию z в индивидуальных упорядочениях. Конституции, которые нарушают эту аксиому, обычно очень громоздки, по крайней мере в случае, когда имеется много альтернатив, поскольку надо получить много информации о предпочтениях, чтобы упорядочить даже небольшое число вероятных альтернатив. Кроме того, поскольку на коллективном упорядочении х и у при конституции, в которой нарушена эта аксиома, отражаются индивидуальные упорядочения третьей альтернативы, часто избиратели могут воздействовать на результаты относительно х и у посредством неправильного представления своих предпочтений относительно других альтернатив.

ВОЗМОЖНО, наименее поддается защите требование Эрроу о R-транзитивности. Чтобы избежать заключений Эрроу, теоретики, исследующие процедуры голосования, изучили, к каким последствиям приводят менее ограничительные условия. Нетрудно показать, что R-транзитивность эквивалентна конъюнкции двух более слабых условий: Р-транзитивности (транзитивности строгого отношения коллективного предпочтения Р) и I-транзитивности (транзитивности коллективного безразличия). Таким образом, прямой путь к ослаблению требования Эрроу о рациональности состоит в принятии одного из этих условий и отказе от другого. Особенно уязвима для критики I-транзитивность, поскольку исследования психологов показали, что индивидуумы в условиях эксперимента часто проявляют нетранзитивное безразличие. Например, индивидуум, который выражает безразличие к выбору между х и у и между у и z, часто х предпочитает z. Таким образом, из аналогии между индивидуальным и коллективным предпочтениями не вытекает требования I-транзитивности для коллективных упорядочений.

Экономист и философ Амартия К. Сен из Оксфордского университета показал, что отказ от I-транзитивности, но сохранение Р-транзитивности избавляет нас от вывода Эрроу, связанного с правилом диктатора. Он предложил пример недиктаторской конституции, удовлетворяющей первым четырем аксиомам Эрроу и требованию Р-транзитивности. Его процедура, которую можно назвать правилом консенсуса, влечет за собой справедливость отношения хРу тогда и только тогда, когда каждый индивидуум так упорядочивает х, что он по меньшей мере так же хорош, как .у, и по меньшей мере один индивидуум его строго предпочитает у. Следовательно, когда два индивидуума расходятся в упорядочении х и у, результат равен xIy. Каждый индивидуум имеет право вето, которое даст ему возможность блокировать строгое коллективное предпочтение, противоположное его собственному. Чтобы увидеть, что коллективное безразличие не обязано быть транзитивным, рассмотрим комитет из двух членов, в котором предпочтения одного у, х, z, а предпочтения другого х, z, y; правило консенсуса дает xIy и yIz, но xPz.