*5057. Справедливый дележ

[Фуад Алескеров]

https://postnauka.ru/video/52553
Математик о критериях справедливости и математических моделях дележа
10 ноября 2015

История о том, что такое справедливый дележ, впервые упоминается в Священном Писании. История такова: когда Авраам и Лот пришли в новую землю, им не хватало пропитания. Чтобы сразу было понятно: когда говорится «Авраам и Лот и их семьи», это означает, что это было племя (семьи, много людей). Им не хватало пропитания, и начались ссоры между пастухами и членами семей. Тогда Авраам предложил Лоту: «Не вся ли земля перед нами? Если ты пойдешь направо, то я пойду налево. Если ты пойдешь налево, то я пойду направо». Они так и поступили. Авраам остался в Ханаанской земле, а Лот выбрал долину Иордана. Это первый случай дележа.

Я хочу начать с описания одной из процедур, которая называется «дели и выбирай», когда есть что-то, что делится. Я думаю, что многие слушатели использовали эту процедуру. Во всяком случае, когда мы были детьми, мы пользовались ею часто. Если был какой-то объект, который надо было поделить, кто-то один делил, а второй выбирал. Понятно, что это сразу убирает нечестность: если я поделил нечестно, то мой товарищ спокойно может взять бо́льшую часть. Поэтому была попытка все выравнять.

На самом деле проблема гораздо шире. Например, мы делим торт, а я не очень люблю кремовые розочки на торте и готов взять маленькую долю торта и отказаться от той части, на которой будут кремовые розочки. Возникает серьезная проблема: предпочтения людей относительно объектов дележа могут быть очень разные. Поскольку предпочтения могут быть разными, возникает проблема: а можно ли вообще справедливо поделить что-то и что такое справедливость?

На самом деле эта задача, при всей своей такой игрушечности, когда мы говорим о торте, имеет колоссальное количество применений: это дележ наследства, бракоразводные процессы, дележ спорных территорий и так далее. Возникает необходимость в теории, которая отвечала бы на вопрос «А что такое хороший дележ и каковы его отличия от плохого дележа?».

Интересно отметить, что этой задачей занимались крупнейшие математики современности. Опять же в середине ХХ века этой проблемой начали всерьез интересоваться, и один из столпов современной математики, Стефан Банах, тоже участвовал в разработке соответствующей теории.

Сейчас буду говорить больше о современных работах в этой области. Есть три критерия справедливого дележа. Первый критерий — это отсутствие зависти. Если мы поделили с товарищем какой-то объект, я не должен завидовать тому, что он получил. Соответственно, он не должен завидовать тому, что получил я. Хочу сразу отметить: это не обязательно предусматривает равный дележ. Возвращаясь к тому примеру с тортом: я не буду завидовать, если он получил больше, если на этой большей части есть кремовые розочки. Отсутствие зависти — важный момент. В реформах Солона — это Древняя Греция, VII век до нашей эры — впервые был введен западной цивилизацией налог на недвижимость. Предусматривалось, что если кто-то считал, что он платит несоразмерно больше налога, чем какой-то другой человек, то при обоюдном согласии они могли поменяться участками. Можете себе представить, какая интересная концепция отсутствия зависти, существующая больше чем две тысячи лет!

Пока я говорю о дележе на две части. На самом деле, когда мы говорим о дележе между многими людьми, возникает гораздо больше серьезных проблем, поэтому сейчас мы будем говорить о простой модели. Дележ на две части и условие равноценности означает, что каждый из нас, кто участвует в этой сделке, в этом дележе, считает, что он получил равную долю. При этом, еще раз хочу повторить, равную долю, даже притом что, может быть, каждый из нас считает, что он получил больше половины. Это при условии учета предпочтений. Я считаю, что я и мой партнер получили равные доли, потому что мы получили то, что мы хотели, с равным превышением.

Наконец, эффективность по Парето, или просто эффективность. Парето-оптимальность — мы об этом уже несколько раз говорили — означает, что не существует другого дележа, при котором каждый из нас получит хотя бы столько же, сколько в предыдущем дележе, но, может быть, один из нас получит чуть больше. Это эффективность по Парето.

Итак, справедливый дележ характеризуется тремя свойствами: отсутствие зависти, равноценность и оптимальность (оптимальность по Парето). Если проанализировать различные процедуры — а их не так много, — дают ли они справедливый дележ? Оказывается, что далеко не все. Совсем недавно американские математики (один из них мой очень хороший друг Стивен Брамс, а другой — это Алан Тейлор) в задаче, существующей больше двух тысяч лет, придумали новую процедуру, которая дает действительно справедливый дележ и удовлетворяет всем этим требованиям. Процедура описана в книгах, она известна и устроена таким образом: каждая из сторон имеет сто очков, расставляет эти сто очков между объектами дележа, а дальше происходит подстройка под перераспределение, которая описывается очень просто. Если у нас есть какие-то делимые объекты, мы отщипываем от этого делимого объекта в пользу того, кто получил при первой оценке меньше, пока эти доли не выравняются. Я на пальцах рассказал довольно непростую процедуру, которая, оказывается, удовлетворяет всем этим свойствам.

Я хочу закончить эту лекцию одним простым примером. В начале нулевых диспетчеры северных аэропортов России бастовали и просили повысить им зарплату. Сначала Министерство труда категорически отказалось это делать, и диспетчеры объявили бессрочную голодовку. Прошло некоторое время, и министерство полностью удовлетворило эти условия. При этом сначала, когда министерство не хотело удовлетворять требования, разговор шел о том, что нагрузка на диспетчеров этих аэропортов не такая большая, как в московских аэропортах или в загруженных западных аэропортах. Тем не менее министерство пошло на все их требования и удовлетворило их. По этому поводу я построил модель и расписал, какие пункты дележа могли бы обговариваться, например: количество часов занятости на работе, время выхода на пенсию, выходное пособие, величина отпуска и так далее. Можно было спектр переговоров о повышении зарплаты перевести в совершенно другую плоскость. Это было опубликовано в моих лекциях, но я хочу сказать, что те, кто принимает решения, даже не знают о таких возможностях. А если ими пользоваться, можно достичь гораздо более интересных и качественных результатов.

Когда мы говорили о дележе — дележ торта ли, зарплат ли, — это все, казалось бы, материальные объекты. А очень часто возникают проблемы социального характера. Например, при слиянии фирм возникают проблемы: «А как будет называться результирующая фирма?» В книге Брамса и Тейлора, которую я предложил и редактором перевода на русский язык которой имел честь быть, приводится пример, когда слияние Крайслера с Даймлером несколько напряглось, потому что там не могли придумать хорошее название.

Вопрос о том, как эти социальные проблемы решаются, тоже может быть предметом описаний в терминах моделей дележа. Надо хорошо понимать одну вещь: как правило, слияние и поглощение не происходит потому, что фирмы хотят увеличить долю рынка. Обычно это связано с монополизацией рынка, поэтому в некоторых странах на эту тему есть очень четкие, жесткие правила. Скажем, в Канаде банки не могу сливаться, если они начинают контролировать более чем 35% доли банковского сектора в регионе. При таких слияниях возникают вопросы: «Как будет называться фирма?», «Кто будет президентом объединенной фирмы?», «В какой пропорции увольняются сотрудники?» Оказывается, все эти вопросы тоже могут решаться с помощью этих моделей.

доктор технических наук, руководитель Департамента математики факультета экономики, заведующий лабораторией анализа и выбора решений ВШЭ и лабораторией Института проблем управления РАН