5513. Рациональный коллективный выбор

[Дуглас Х. Блэйр, Роберт Э. Поллак]

http://antisocialist.ru/papers/bleyr...vnyy.vybor.htm

С помощью аксиоматического анализа исследовалась проблема совместимости нескольких желательных свойств идеального метода коллективного выбора. Компромисс между рациональностью, способностью решать и равенством кажется неизбежным

МОЖНО ли создать такую систему голосования, чтобы она была рациональной, решающей и демократичной одновременно? Специалисты в области общественных наук, философы и экономисты (в том числе и авторы этой статьи), исследовавшие этот вопрос, склоняются к отрицательному ответу. Перечисленные характеристики идеальной системы голосования на самом деле несовместимы. Способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Систематически проводимый анализ этой дилеммы привел к более глубокому пониманию существующих систем голосования и со временем может привести к открытию более совершенных систем.

Аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования начал проводить 33 года назад экономист Кеннет Дж. Эрроу из Станфордского университета. Он выдвинул пять привлекательных для интуитивного толкования аксиом, которым должна удовлетворять любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение, и доказал, что единственные процедуры, которые отвечают всем этим аксиомам, сосредоточивают всю власть в руках одного индивидуума. Нельзя найти метод, удовлетворяющий всем аксиомам Эрроу, который не был бы диктаторским - и не за недостатком изобретательности, а потому что такового не существует. Эта работа была в числе тех, за которые Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике в 1972 г.

В течение последних 15 лет ученые не переставали исследовать аксиомы Эрроу в попытке обойти его "теорему невозможности", стремясь ослабить сформулированные им требования. Эта проблема вызвала широкий интерес, поскольку она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук. Перед философами она встает, например, при анализе практического значения утилитаризма - этической доктрины, утверждающей, что правильность действий зависит от их последствий для народного благоденствия, и, таким образом, требующей найти метод для объединения индивидуальных предпочтений. Ученые, занимающиеся общественными науками, встречают эту проблему при определении или оценке правил голосования для комитетов или законодательных органов. Экономисты сталкиваются с ней при изучении нормирования и других нерыночных методов распределения ресурсов. Эта задача очень важна в нормативных экономиках, поскольку при определении допустимых границ вмешательства правительства в сферу действия свободного рынка решающим является понимание потенциального спектра альтернатив - вплоть до полного невмешательства.

ПРИНЦИП большинства голосов заслуживает, чтобы его рассмотрели в первую очередь среди прочих процедур объединения индивидуальных предпочтений. В числе его достоинств - простота, равноправие и весомость, обусловленная традицией. По существу принцип большинства - это процедура сопоставления пар кандидатов или альтернатив. Однако при сопоставлении более двух альтернатив принцип большинства сталкивается с трудностью, на которую еще 200 лет назад указывал маркиз Кондорсе.

Рис. 1. ПАРАДОКС ГОЛОСОВАНИЯ может возникнуть при голосовании по принципу большинства, когда голосующие с противоположными предпочтениями должны выбирать из более чем трех альтернатив. Парадокс описывается для комитета, выбирающего одного кандидата, или альтернативу, из трех: х, у и z. В итоге получается цикл: х побеждает у, у побеждаетz и z побеждает х - двумя голосами против одного. Такая проблема заставила Кеннета Дж. Эрроу из Станфордского университета предложить пять аксиом, которым должна удовлетворять процедура голосования.

Отмеченная Кондорсе трудность ныне известна под названием "парадокса голосования". Предположим, что комитет, состоящий из Тома, Дика и Гарри, должен расположить в порядке предпочтения трех кандидатов x, у и z. Том располагает их х, у, z, Дик - у, z, x, а Гарри - z, х, у. Подсчет голосов по принципу большинства для выбора из пар кандидатов приводит к циклу: х побеждает у, у побеждает z, a z побеждает х - все двумя голосами против одного. Этот цикл является простейшим примером парадокса голосования Кондорсе.

Специалисты в области общественных наук установили много исторических случаев циклов голосования. Например, Уильям X. Райкер из Рочеегерского университета утверждал, что принятие 17-й поправки, предусматривающей прямые выборы членов сената США, оттягивалось в течение 10 лет парламентскими маневрами, связанными с циклами голосования, которые включали в себя три альтернативы: статус-кво (назначение сенаторов законодательным органом штата) и две версии поправки.

Когда возможно более двух альтернатив, нужен новый принцип для проведения выборов из попарных упорядочений. Конфигурации предпочтений, которые приводят к парадоксу голосования, создают трудность при каждом естественном подходе. Простейший метод состоит в выборе альтернативы, которая не побивалась бы никакой другой. Однако при наличии парадокса голосования такой альтернативы не существует, поскольку каждая альтернатива, или кандидат, проигрывает какой-либо другой.

Второй способ перехода от попарного упорядочения к выборам состоит в определении последовательности, в которой берутся пары альтернатив. Например, последовательность может предусматривать вначале голосование за х или у, а затем за победившего кандидата или z. При этой последовательности комитет, состоящий из трех членов, вначале проголосует за х против у, а на втором этапе z победит х. Легко проверить, что при любой из трех возможных последовательностей в этой ситуации альтернатива, рассмотренная последней, победит: последовательность предопределяет результат. Таким образом, циклы голосования представляют собой трудность не только внешне, но и по существу. Когда случается цикл, выбор окончательного победителя в лучшем случае произволен (если последовательность выбрана случайным образом), а в худшем случае определяется махинациями того, кто задает последовательность.

Другие возможности для стратегических маневров возникают, когда голосующий может изменить последовательность голосования введением новых альтернатив. Предположим (при том же самом комитете), что z представляет собой статус-кво, а у- альтернативу, образовавшуюся в результате внесения предположения. При этих двух единственных возможных альтернативах у победит z, и Гарри (который предпочитает кандидата z кандидату y), будет разочарован. Однако если он сможет внести поправку х к предложению y, то х победит у при первоначальном голосовании, а на втором этапе х проиграет z. Таким образом, Гарри добьется принятия предпочитаемой им альтернативы.

Даже если нельзя ввести новые альтернативы, а последовательность невозможно изменить, голосующие могут воспользоваться в своих целях неправильным представлением своих предпочтений. Снова рассмотрим последовательность, при которой z берется в последнюю очередь. Если каждый член комитета голосует в соответствии со своим истинным предпочтением при каждом голосовании, выигрывающая альтернатива z стоит на последнем месте среди предпочтений Тома. Предположим, однако, что Том голосует за у вместо х в первоначальном голосовании, тогда у побеждает, побивая z на втором этапе. Таким приемом он заблокировал выбор альтернативы, которая ему нравилась меньше всего.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают, либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в нашем примере, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив.

По необходимости Эрроу выбрал вместо этого аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор "конституции", т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, низшей или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные). Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам. Первая аксиома Эрроу - универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу - аксиома единогласия, управляет действием конституции, когда нет несогласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигураций предпочтений, при которых каждый индивидуум предпочитает альтернативу х альтернативе у, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.

Третья аксиома Эрроу - независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы ни менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений х и у остается неизменным, коллективное упорядочение х и у также не меняется. Из этого условия следует, например, что коллективное упорядочение кандидатур Р. Рейгана и Дж. Картера не зависит от того, каковы индивидуальные упорядочения Эдварда Кеннеди по отношению к двум первым или к Уолтеру Мондейлу.

Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях непредставленных альтернатив несущественна для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения х и у и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении х и у.

Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условие независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, при передаче информации комментаторами по телефону). Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

Предположим, однако, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с х, у, z на х, z, у. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения х и y, описываемая нами процедура дает теперь коллективное упорядочение х по отношению к у, поскольку х по-прежнему получает шесть баллов, а у получает пять баллов. Следовательно, при таком голосовании коллективное упорядочение х и у зависит не только от того, как индивидуумы их упорядочивают, но также и от относительных позиций других альтернатив, таких как z.

ЧЕТВЕРТУЮ и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения. Р обозначает строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению "больше" между парой действительных чисел), I обозначает коллективное безразличие (аналогичное равенству), и R обозначает отношение слабого коллективного предпочтения (аналогичное отношению "больше или равно"). Таким образом, выражение xRy означает "x коллективно по меньшей мере так же хорошо, как у", т.е. либо хРу, либо xIy.

Четвертая аксиома Эрроу - это аксиома полноты: для каждой пары альтернатив х иу должно выполняться либо xRy, либо yRx (либо оба вместе; в этом случае x и .у безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является по-видимому относительно безобидным требованием.

Пятая аксиома, R-транзитивность, требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивно: формально если xRy и yRz, то xRz. Примеры транзитивных отношений над парами действительных чисел: "больше" (>), "равно" (=) и "больше или равно" (?). Так, если число х больше, чем у, и у больше, чем z, то х должно быть больше, чем z. В экономических исследованиях полнота и R-транзитивность являются условными соглашениями и индивидуумы, чьи предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, называются "рациональными". Эрроу расширил это понятие до понятия "коллективная рациональность" для описания конституций, удовлетворяющих аксиомам полноты и R-транзитивности. Он ввел Р-транзитивность для обеспечения независимости выбранной альтернативы от последовательности, т.е. пути, которым она достигается.

Рис. 2. Р-ТРАНЗИТИВНЫЕ КОНСТИТУЦИИ - это такие правила голосования, при которых из хРу и yPz следует xPz. Все такие конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, нейтральны, т.е. они упорядочивают пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность означает, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив u и v следует, что u коллективно предпочитается v, то из той же конфигурации упорядочений х и у следует, что х коллективно предпочитается у. Описывается доказательство этого факта для двух голосующих. Предположим, что для альтернатив u и v Энн преобладает над Биллом при этой конституции, если она u предпочитает v. Альтернативы х и у они упорядочивают по-разному. Для такой конфигурации по аксиоме единогласия Эрроу хРu, по предположению, что Энн преобладает для u против v, uPv и в силу аксиомы единогласия vPy. При Р-транзитивности следует, что хРу для этой частной конфигурации предпочтения. Аксиома независимости Эрроу, однако, позволяет сделать более общее заключение, чем то, что Энн преобладает для х против у, независимо от позиций u и v в ее упорядочении или упорядочении Билла. (Аксиома независимости устанавливает, что коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих двух альтернатив.)

Определив и обосновав эту систему пяти желательных свойств, Эрроу доказал, что единственные конституции, удовлетворяющие всем этим свойствам, обладают простым и удивительным недостатком: каждая из них является правилом диктатора. Диктатор - это личность, обладающая властью навязывать обществу свое строгое предпочтение для любой пары альтернатив. Эрроу сформулировал свою теорему в несколько иной форме. Он добавил шестую аксиому, об отсутствии правила диктатора, и доказал, что не существует конституции, которая удовлетворяла бы всем шести аксиомам. По этой причине вывод Эрроу часто называют "теорема невозможности".

Рис. 3. ТЕОРЕМА О ДИКТАТОРЕ Эрроу доказана здесь для двух голосующих. Описывается одна возможная конфигурация упорядочения предпочтений для Энн и Билла; в каком квадранте находится каждая альтернатива, зависит от того, как оба голосующих ее упорядочивают относительно альтернативы х. Квадрант 1 содержит те альтернативы (такие, как у), которые они оба предпочитают х; квадрант 2 - те, которые Билл предпочитает х, а Энн не предпочитает; 3 содержит те альтернативы, которые ни один из них не предпочитает х, а 4 - те, которые Энн предпочитает х, а Билл нет. Из свойства нейтральности транзитивных конституций следует, что каждая альтернатива в квадранте должна быть упорядочена коллективно таким же способом по отношению к х. Из этого же свойства вытекает, что это рассуждение не зависит от какой-нибудь конкретной альтернативы, определяющей квадранты. Квадрант 2 не может содержать альтернативы, безразличные к х, потому что тогда было бы для обоих голосующих ulx и xlw. Таким образом, в силу I-транзитивности ulw, что противоречит аксиоме единогласия, поскольку оба голосующих предпочитают альтернативу и альтернативе w. Аналогичным образом квадрант 4 также не может содержать альтернатив, безразличных к х. Квадранты 2 и 4 оба не могут содержать альтернатив, предпочитаемых х или худших, чем х, поскольку из нейтральности следует, что если uРх, то xPv, поскольку голосующие упорядочили u и х и х и v одинаково. Так как из аксиомы единогласия Эрроу следует, что в квадранте 1 содержатся альтернативы, которые предпочитаются х, а альтернативы из квадранта 3 безразличны по отношению к х, пять аксиом Эрроу совместны лишь с двумя конституциями: если альтернативы из квадранта 4 лучше х, а из квадранта 2 хуже х, то Энн - диктатор. Если же в квадранте 2 альтернативы предпочитаются х, а в квадранте 4 альтернативы худшие х, то диктатором будет Билл. Доказательство Ч. Блэкорби, Д. Доналдсона и Д. Веймарка.

Таким образом, составителю процедуры голосования для законодательных органов, комитетов и клубов, который принимает эти условия в качестве необходимых свойств конституции, просто не везет. Внешне скромные требования Эрроу имеют веские и неприятные последствия. Как показывает его теорема невозможности, пять этих свойств очень ограничительны; хотя они и привлекательны по отдельности, в комбинации они пагубны. Теоретики, исследующие процедуры голосования, приложили немало усилий для пересмотра этих аксиом в поисках обходного пути, чтобы избежать неудобных выводов Эрроу.

ВПОЛНЕ оправданным является довод, что аксиома универсальности слишком претенциозна. Не все логически возможные конфигурации упорядочения предпочтений являются одинаково вероятными. Поскольку некоторые конфигурации могут быть крайне неправдоподобными, требование, чтобы конституция непротиворечиво объединяла все логически возможные конфигурации для получения коллективного упорядочения, по-видимому, чрезмерно сильное. Наиболее распространенная стратегия для ослабления этого требования состояла в том, чтобы, сосредоточившись на какой-нибудь частной процедуре, например принципе большинства, поискать ограничения, которые исключают те конфигурации предпочтения, из которых следует нетранзитивное коллективное предпочтение. Например, если могут возникнуть лишь те конфигурации предпочтений, в которых нет разногласий между индивидуумами, то аксиома универсальности определяла бы коллективные предпочтения и проблема нетранзитивности не могла бы возникнуть. Хорошо известное нетривиальное ограничение, обнаруженное в 40-е годы английским экономистом Данкэном Блэйком, состоит в том, что выбор производится согласно единственному критерию. В этом случае при любом попарном выборе каждый индивидуум голосует за альтернативу, наиболее близкую к его излюбленной позиции. Например, каждый избиратель может упорядочить кандидатов в соответствии с тем, насколько близко они находятся к его собственной позиции в политическом спектре от либерализма до консерватизма. Таким образом, если кандидат х более либерален, чем .у, а у либеральнее, чем z, общество с единственным критерием выбора, содержащее либералов (х, y, z), консерваторов (z, у, х) и умеренных (у, х, z или .у, z, х), не должно содержать индивидуумов, для которых средняя альтернатива расположена за двумя крайними (х, z, у и z, х, у). Если можно ожидать на практике единственность критерия, то этот случай очень хорошо подчиняется принципу большинства. Однако обычно избиратели упорядочивают кандидатов в соответствии с многими критериями, и поэтому случай одного критерия не осуществляется.

В более общем случае стратегия наложения ограничений на конституции может быть успешной, только если эти ограничения правдоподобны в смысле теории образования предпочтений или структуры предпочтений. Однако специалисты в области общественных наук не преуспели в деле формального моделирования роли социализации в развитии вкусов и системы ценностей, а также степени близости предпочтений, необходимой для социальной стабильности.

Таким образом, несмотря на значительные усилия, еще не сформулированы характеристики возможных способов упорядочения, достаточно широкие, чтобы охватить реальные предпочтения избирателей, и в то же время достаточно узкие, чтобы избежать выводов о правиле диктатора.

Возможность отказаться от аксиомы единогласия не вызвала большого энтузиазма. При критическом пересмотре аксиома единогласия кажется довольно слабым требованием, налагаемым на механизм объединения индивидуальных предпочтений для образования коллективного предпочтения. Роберт Уилсон из Станфордского университета показал, что единственная дополнительная конституция, удовлетворяющая всем аксиомам Эрроу, кроме аксиомы единогласия, еще менее привлекательна, чем правило диктатора. В частности, появляются две новые возможности. Первая возможность - это всеобщее безразличие, правило, согласно которому любая пара альтернатив постоянно безразлична относительно того, как индивидуумы их упорядочивают. Вторая возможность - это "диктатура наизнанку", правило, при котором за коллективное упорядочение принимается некоторое обратное упорядочение индивидуальных предпочтений. Этот метод окажется полезным организованному обществу, только если найдется избиратель с безусловно плохим суждением.

Аксиома независимости вызвала на себя сильный огонь критики в первое десятилетие после того, как Эрроу опубликовал свои результаты, но сейчас критика этой аксиомы утихла. Оригинальное обоснование Эрроу этого условия состояло в том, что конституции, удовлетворяющие ей, могут быть приняты без предварительного сбора огромной информации о предпочтениях. Чтобы упорядочить альтернативы х и у, нет нужды уточнять позицию z в индивидуальных упорядочениях. Конституции, которые нарушают эту аксиому, обычно очень громоздки, по крайней мере в случае, когда имеется много альтернатив, поскольку надо получить много информации о предпочтениях, чтобы упорядочить даже небольшое число вероятных альтернатив. Кроме того, поскольку на коллективном упорядочении х и у при конституции, в которой нарушена эта аксиома, отражаются индивидуальные упорядочения третьей альтернативы, часто избиратели могут воздействовать на результаты относительно х и у посредством неправильного представления своих предпочтений относительно других альтернатив.

ВОЗМОЖНО, наименее поддается защите требование Эрроу о R-транзитивности. Чтобы избежать заключений Эрроу, теоретики, исследующие процедуры голосования, изучили, к каким последствиям приводят менее ограничительные условия. Нетрудно показать, что R-транзитивность эквивалентна конъюнкции двух более слабых условий: Р-транзитивности (транзитивности строгого отношения коллективного предпочтения Р) и I-транзитивности (транзитивности коллективного безразличия). Таким образом, прямой путь к ослаблению требования Эрроу о рациональности состоит в принятии одного из этих условий и отказе от другого. Особенно уязвима для критики I-транзитивность, поскольку исследования психологов показали, что индивидуумы в условиях эксперимента часто проявляют нетранзитивное безразличие. Например, индивидуум, который выражает безразличие к выбору между х и у и между у и z, часто х предпочитает z. Таким образом, из аналогии между индивидуальным и коллективным предпочтениями не вытекает требования I-транзитивности для коллективных упорядочений.

Экономист и философ Амартия К. Сен из Оксфордского университета показал, что отказ от I-транзитивности, но сохранение Р-транзитивности избавляет нас от вывода Эрроу, связанного с правилом диктатора. Он предложил пример недиктаторской конституции, удовлетворяющей первым четырем аксиомам Эрроу и требованию Р-транзитивности. Его процедура, которую можно назвать правилом консенсуса, влечет за собой справедливость отношения хРу тогда и только тогда, когда каждый индивидуум так упорядочивает х, что он по меньшей мере так же хорош, как .у, и по меньшей мере один индивидуум его строго предпочитает у. Следовательно, когда два индивидуума расходятся в упорядочении х и у, результат равен xIy. Каждый индивидуум имеет право вето, которое даст ему возможность блокировать строгое коллективное предпочтение, противоположное его собственному. Чтобы увидеть, что коллективное безразличие не обязано быть транзитивным, рассмотрим комитет из двух членов, в котором предпочтения одного у, х, z, а предпочтения другого х, z, y; правило консенсуса дает xIy и yIz, но xPz.

[Дуглас Х. Блэйр, Роберт Э. Поллак]

Феномен нетранзитивного индивидуального безразличия может отражать неспособность индивидуумов различать альтернативы, которые близки друг к другу. Например, кандидаты х и у могут казаться одинаково консервативными некоему индивидууму, потому что их политические позиции неразличимо близки, и то же самое может казаться верным для .у и z. Однако кандидаты х и z могут быть достаточно далеки, чтобы индивидуум заметил, что х более консервативен, чем z, и, таким образом, предпочесть одного другому.

Психолог Р. Данкэн Льюс из Гарвардского университета предложил ввести понятие непротиворечивости, названное предпорядком, для моделирования ситуаций, включающих такие пороги различимости. Предпочтения, упорядоченные отношением предпорядка, проявляют свойство Р-транзитивности, но допускают нетранзитивное безразличие. Если коллективный выбор выглядит как процесс объединения политических суждений индивидуумов для образования коллективных политических суждений, понятие несовершенного различения может быть применено как к коллективным предпочтениям, так и к индивидуальным.

Таким образом, предпорядок является более сильным требованием рациональности, чем одна Р-транзитивность, - факт, который имеет важные последствия для процедур объединения предпочтений. Как авторы данной статьи показали в одной из своих работ, требование к конституции, чтобы она порождала коллективные предпочтения, упорядоченные отношением предпорядка, и удовлетворяла другим аксиомам Эрроу, все еще приводит к правилу диктатора. Таким образом, ослабление свойства Р-транзитивности на основании улучшения различимости пограничных случаев, хотя и привлекательно и возможно, не помогает нам избежать выводов, сделанных Эрроу. Основное оправдание Эрроу для Р-транзитивности заключалось в том, что выбор из некоторого множества альтернатив должен быть независим от последовательности, или пути, которым этот выбор производится. Замечательно, что стремление к независимости пути приводит непосредственно к доводу в пользу одной Р-транзитивности как подходящего требования рациональности коллективного упорядочения предпочтений. Чарльз Р. Плотт из Калифорнийского технологического института предложил формальное определение независимости пути и показал, что все конституции, удовлетворяющие этому условию, являются Р-транзитивными. Кроме того, любая Р-транзитивная конституция удовлетворяет условию независимости пути. Следовательно, хотя первоначальное условие коллективной рациональности Эрроу гарантирует независимость пути, той же цели можно было бы добиться с помощью менее ограничительного условия.

Правило консенсуса Сена показывает, что недиктаторские Р-транзитивные конституции существуют. Однако, как признавал Сен, правило консенсуса не является привлекательным решением проблемы Эрроу, потому что оно часто бывает нерешающим. Когда некоторые два индивидуума имеют два противоположных строгих упорядочения предпочтений пары альтернатив, что является самой распространенной формой конфликтующих интересов, правило консенсуса объявляет обе альтернативы безразличными. Конституция, которая приводит к коллективному безразличию, всякий раз, когда индивидуальные упорядочения вступают в конфликт, фактически бессмысленна.. Можно ли придумать более привлекательную Р-транзитивную конституцию? Философ Аллен Гиббард из Мичиганского университета показал, что это невозможно. Гиббард доказал, что при любой Р-транзитивной процедуре, отвечающей остальным аксиомам Эрроу, существует привилегированное множество индивидуумов, которое он назвал олигархией. Эта олигархия в качестве группы имеет право навязывать всему обществу свое единогласное строгое предпочтение при любой паре альтернатив. Кроме того, каждый член олигархии в качестве индивидуума имеет право вето для строгих коллективных предпочтений, противоположных своему собственному: как только какой-нибудь член олигархии строго предпочитает альтернативу х альтернативе у, уРх невозможно. Таким образом, диктатор - это олигархия из одного члена, в то время как правило консенсуса предполагает олигархию, состоящую из всего общества.

Как показывает правило консенсуса, не все олигархические конституции распределяют власть неравно. По мере того как большее количество членов входит в олигархию, распределение власти все сильнее приближается к равноправному. Однако большая олигархия увеличивает вероятность, что решение не сможет быть принято, поскольку конфликт между членами олигархии влечет за собой коллективное безразличие. Поскольку независимость пути требует Р-транзитивности, из теоремы Гиббарда следует, что привлекательное свойство независимости пути может быть завоевано только ценой нерешительности или неравноправия. Чтобы разрешить эту дилемму выбора между неравноправием маленьких олигархий и нерешительностью больших, коллективная рациональность должна быть ослаблена настолько, чтобы не быть связанной с Р-транзитивностью.

Р-транзитивные конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, имеют дополнительный недостаток. Они негибки в том смысле, что, за исключением случая безразличия всех членов олигархии, они не могут наложить различные требования на строгое коллективное предпочтение для различных пар альтернатив. Вместо этого они должны рассматривать пары альтернатив нейтральным или симметричным образом. Так, если Том, но не Дик и не Гарри делает ставку на перемену политики y на политику x, может быть уместным дать Тому право вето на упорядочение хРу. Однако дать ему такую власть над другими парами может оказаться нежелательным. Отметим, что Р-транзитивные конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, не могут проявить такую гибкость.

Рис. 4. НЕЙТРАЛЬНЫЕ КОНСТИТУЦИИ для 3 голосующих можно представить на диаграмме индивидуальных предпочтений с 8 октантами. По свойству нейтральности, которое предполагается у ацикличных конституций и обязательно для Р- транзитивных, все альтернативы в некотором октанте должны находиться в одинаковом отношении (предпочитается, безразличен или хуже) с х при коллективном упорядочении. Если альтернативы, например, в октанте 2 коллективно предпочитаются х, то противоположные им (в октанте в) <хуже> х, а если все альтернативы в октанте коллективно безразличны кх, то противоположные им также безразличны к х. Поскольку по аксиоме единогласия альтернативы из октанта 7 предпочитаются альтернативех, ах - альтернативам октанта 7, все возможные нейтральные конституции могут быть полностью описаны определением коллективных предпочтений (по отношению к х) для октантов 2, 3 и 4. Так как альтернативы в каждом из 3 октантов предпочитаются, безразличны или хуже, чем х, то есть 27 возможных нейтральных конституций для 3 голосующих. При Р- транзитивных конституциях, удовлетворяющих другим аксиомам Эрроу, можно показать, что дополнительная поддержка для х по отношению к у не ухудшает положения х по отношению к у в коллективном упорядочении. Например, пусть Энн изменяет свое упорядочение, так что z перемещается из октанта 3 в 4, т.е. вместо того, чтобы х предпочитать z, она теперь z предпочитает х. Тогда коллективное упорядочение альтернатив из октанта 4 по отношению к х должно быть по меньшей мере таким же благоприятным, как альтернативы изЗ; если альтернативы из этого октанта безразличны к х, то альтернативы из 4 должны быть либо безразличны, либо предпочитаться х. Некоторые не Р-транзитив- ные конституции не удовлетворяют этому свойству благоприятного сочетания коллективного упорядочения с индивидуальными упорядочениями, поэтому свойство благоприятного сочетания должно быть сделано дополнительным условием для конституций, нарушающих Р-транзитивность. Так как перемещение альтернативы из октанта 3 в 2 или 4 отражает улучшение в оценке некоторой альтернативы голосующим относительно х, благоприятное сочетание требует: если альтернативы из октанта 3 предпочитаются х, то то же верно для альтернатив из октантов 2 и 4. Если альтернативы из 3 безразличны, то альтернативы из 2 и 4 должны быть либо безразличными, либо предпочитаться х. Если октант 2 содержит худшие, чем х альтернативы, то альтернативы из октанта 8 должны предпочитаться х; отсюда в силу благоприятности сочетания альтернативы из октанта 4 должны предпочитаться. Эти доводы снижают число нейтральных конституций для 3 голосующих, удовлетворяющих свойству благоприятности сочетания и четырем аксиомам Эрроу, с 27 до 11. Здесь описан принцип большинства; октанты, где альтернативы предпочитаются х, - цветные, октанты с худшими альтернативами - серые.

Рис. 5. НЕЙТРАЛЬНЫЕ КОНСТИТУЦИИ для трех голосующих, удовлетворяющие различным условиям рациональности. Каждая фигура с 8 октантами иллюстрирует упорядочение альтернатив по отношению к фиксированной альтернативе х при некоторой частной конституции. Альтернативы в цветных октантах предпочитаются х, а в серых - они хуже х; в белых же октантах альтернативы нейтральны по отношению к х.

При олигархических Р-транзитивных конституциях, удовлетворяющих другим аксиомам Эрроу, группа (или индивидуум) с правом навязывать свою волю при упорядочении одной пары альтернатив, должна обладать той же властью над всеми другими парами. Аналогично, индивидуум или группа с правом вето на одну пару альтернатив должны распространять это право и на все другие пары. Если из одной частной конфигурации предпочтений между х и у следует, что х коллективно предпочитается у (аксиома независимости гарантирует, что не нужно дополнительной информации об индивидуальных предпочтениях для определения коллективного упорядочения х и у), то из той же самой конфигурации индивидуальных предпочтений между z и w следует, что z коллективно предпочитается w. Возможно рассматривать пары альтернатив несимметричным или ненейтральным образом при конституциях, удовлетворяющих более слабым, чем Р-транзитивность, условиям рациональности.

Менее ограничительное, чем Р-транзитивность, требование-это ацикличность, отсутствие циклов строгого коллективного предпочтения любой длины. Например, при трех альтернативах упорядочение коллективных предпочтений хРу, yPz, xIz является ацикличным (так как нет циклов строгого предпочтения), но оно нарушает Р-транзитивность (поскольку из первых двух упорядочений должно следовать xPz). Среди коллективных предпочтений, подчиняющихся правилу ацикличности, находится трехальтернативный цикл, который мы встречали уже в парадоксе голосования.

АЦИКЛИЧНОСТЬ - привлекательное свойство для конституции, особенно когда процедура, принятая для превращения попарных коллективных упорядочений в коллективный выбор, состоит в отборе альтернатив, которые не побеждены никакими другими. Ацикличность гарантирует, что по крайней мере одна такая альтернатива существует в каждом конечном достижимом множестве и она является наименее ограничительным условием. В приведенном выше примере альтернатива х не побита ни одним из своих конкурентов, в то время как при циклическом коллективном предпочтении хРу, yPZy zPx каждая из альтернатив проигрывает другой. Без ацикличности соответствующий коллективный выбор далеко не ясен.

Ацикличные конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, не обязаны быть нейтральными; они позволяют рассматривать пары альтернатив асимметричным образом. Ненейтральные процедуры широко распространены. Например, в сенате США обычный законопроект принимается простым большинством голосов, за прекращение дебатов должны проголосовать три пятых, а предложение о поправке к конституции требует двух третей голосов. Является ли нейтральность желательным свойством конституции, зависит от природы альтернатив. Когда надо упорядочить кандидатов для приема на службу, более привлекательным кажется нейтральное правило, чем то, которое поставило бы одного кандидата в более выгодные условия. Когда последствия альтернатив асимметричны, благоприятными тем не менее могут быть ненейтральные правила, отражающие предубеждение против решительных исходов. В системе уголовного судопроизводства можно найти примеры обеих крайностей: незначительные дела необязательно рассматриваются судом присяжных, в то время как смертные приговоры автоматически передаются для повторного рассмотрения в апелляционный суд следующей инстанции.

Рис. 6. Р-ТРАНЗИТИВНЫЕ И АЦИКЛИЧЕСКИЕ КОНСТИТУЦИИ можно охарактеризовать посредством представленных здесь конфигураций индивидуальных предпочтений. Имеется 11 конституций для трех голосующих, удовлетворяющих свойствам нейтральности, благоприятного сочетания и первым четырем аксиомам Эрроу. Они изображены слева и на с. 62. При каждой ациклической конституции должен существовать индивидуум с правом вето. Другими словами, не найдется такого октанта, где альтернативы коллективно предпочитаются х, если индивидуум с правом вето предпочитает х этим альтернативам. При каждой конституции, за исключением принципа большинства, имеется по крайней мере один индивидуум с правом вето. Результат будет доказан, если показать, что в случае принципа большинства могут быть циклы. В случае принципа большинства альтернативы из октантов 1, 2, 4 и 5 коллективно предпочитаются х, в то время как альтернативы из октантов 3, 6, 7 и 8 являются худшими, чем х. Для изображенных здесь конфигураций индивидуальных предпочтений при принципе большинства образуются циклы: хРу (так как у находится в октанте 6), yPz (поскольку у находится в том же отношении кг, что и альтернативы из октанта 5 по отношению к х) и zPx (потому что z находится в октанте 2). Следовательно, из ацикличности следует наличие индивидуума с правом вето. А. Гиббард из Мичиганского университета доказал, что Р-транзитивные конституции, удовлетворяющие первым четырем аксиомам Эрроу, являются олигархическими в том смысле, что они предоставляют власть маленькой группе голосующих навязывать свои единогласные строгие предпочтения всему обществу и обеспечивают этим голосующим как индивидуумам право вето на строгое коллективное предпочтение, противоположное их собственному. Таким образом, чтобы доказать результат Гиббарда для трех голосующих, необходимо показать, что только три верхние конституции могут нарушать Р-транзитивность. Поскольку они отличаются друг от друга только именами голосующих, доказательство дано лишь для второго из них. Так как z находится в октанте 2, где альтернативы предпочитаются х, то zPx. Альтернатива у находится в октанте 6, противоположном октанту 4, где альтернативы предпочитаются х, так что хРу. По Р-транзитивности должно было бы выполняться zPy. Однако z находится в том же отношении с у, что и альтернативы из октанта 3 (в данном случае безразличные) по отношению к х, что противоречит правилу нейтральности Р-транзитивных конституций; это и дает искомый результат. Таким образом, требование Р-транзитивности влечет за собой существование олигархии. Усиление этого требования до Я-транзитивности, т.е. транзитивности слабого коллективного предпочтения, исключает олигархии с более чем одним членом, оставляя нам лишь три диктатуры. Области в форме ящиков помогают установить местонахождение у и z в соответствующих октантах левого рисунка.

Ослабление требования рациональности с Р-транзитивности до ацикличности делает возможными конституции без олигархий. Все новые конституции, однако, обладают одним из главных недостатков правила олигархии. Все ациклические конституции, удовлетворяющие остальным аксиомам Эрроу, допускают для некоторой группы или индивидуума право вето.

Типичным примером этих дополнительных ациклических конституций было правило голосования в Совете Безопасности ООН до 1965 г. Совет Безопасности состоял тогда из пяти постоянных членов и шести временных. Предложение принималось, если оно получало по меньшей мере семь голосов "за" и ни одного голоса "против" со стороны постоянных членов. Таким образом, каждый постоянный член Совета Безопасности имел право вето; ни одно предложение не могло быть принято, если какой-нибудь постоянный член Совета был против него. Однако эти пять наций не составляли олигархию, поскольку для строгого коллективного предпочтения требовалась дополнительная поддержка со стороны временных членов.

ПРИ ациклических конституциях индивидуум или группа может иметь право вето на некоторые пары альтернатив, но не на все другие. Степень распространения права вето при таких правилах может, таким образом, быть описана в терминах числа пар, на которые этот индивидуум или группа распространяет право вето. Как мы недавно показали, когда число альтернатив велико по сравнению с числом индивидуумов, по меньшей мере один индивидуум должен иметь право вето на большое число пар альтернатив. Точнее говоря, когда отношение альтернатив к голосующим неограниченно возрастает, доля пар альтернатив, на которые индивидуум распространяет свое право вето, стремится к единице.

Даже если альтернатив меньше, чем индивидуумов, их отношение становится критическим, R-транзитивность и Р-транзитивность являются правилами рациональности, примененными к трем альтернативам. Ацикличность же исключает циклы любой возможной длины: если при трех альтернативах нет циклов, отсюда не следует, что их не будет при четырех альтернативах. При возрастании числа альтернатив становятся возможными все более длинные циклы. Если имеются всего две альтернативы х и у, голосование по принципу большинства не может создать цикла. Для цикла требовалось бы, чтобы одновременно более половины голосующих предпочитали альтернативу х альтернативе у и более половины предпочитали альтернативу y альтернативе х, что явно невозможно. Когда имеются три или более альтернатив, как показывает парадокс голосования, ни один индивидуум не обязан соглашаться со всеми звеньями в цикле коллективных предпочтений и, таким образом, наличие цикла не противоречит транзитивности никакого индивидуального упорядочения предпочтения.

Комитет, состоящий из пяти членов, подробнее иллюстрирует критическую роль отношения числа альтернатив к числу индивидуумов. Рассмотрим конституцию, при которой требуется четыре голоса "за" для строгого предпочтения, - эта конституция является промежуточным вариантом между принципом большинства и правилом консенсуса. Может ли при такой конституции с большинством в четыре пятых возникнуть цикл хРу, yPz, zPx? Ответ отрицательный, поскольку каждый индивидуум имеет транзитивные предпочтения и по меньшей мере четыре индивидуума должны быть согласны с каждым звеном в коллективном упорядочении. В комитете из пяти членов по меньшей мере один член должен был бы согласиться с каждым из трех звеньев в цикле коллективного предпочтения, что невозможно.

Рис. 7. УПОРЯДОЧЕНИЕ КОЛЛЕКТИВНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ, соответствующее частному множеству предпочтений, которых придерживались пять голосующих, представлено для семи конституций, или правил голосования. Упорядочения служат типичным примером компромиссов, с которыми сталкиваются составители правил голосования, между рациональностью, неравенством власти и способностью принимать решения (редкая реализация случаев коллективного безразличия). Принцип большинства приписывает голосующим симметричные роли и является решающим, но при упорядочении предпочтений этих пяти голосующих возникает пятизвенный цикл (цветные стрелки) и несколько более коротких. Принцип большинства в 4/5 голосов является менее решающим, но не приводит к циклам. Однако он не является Р-транзитивным (непротиворечивым при упорядочении строгих предпочтений), так что (используя сокращенную запись) vPw(альтернатива v строго предпочитается альтернативе w) и wPy, но vly (v безразлично по отношению к у; это означает, что общество рассматривает их одинаково привлекательными). Олигархии всегда Р-транзитивны, но их способность принимать решения уменьшается по мере того, как они становятся больше и более эгалитарными.

При комитете из пяти членов и трех альтернативах принцип большинства в 4/5 голосов имеет преимущества над принципом большинства и над правилом консенсуса. В отличие от принципа большинства циклов не возникает. В отличие от правила консенсуса ни один член не имеет права вето. Эти преимущества, однако, завоеваны большой ценой. Правило большинства в 4/5 голосов менее рационально, чем правило консенсуса: хотя коллективные предпочтения ацикличны, они не Р-транзитивны, и поэтому независимость пути нарушается. Это правило является менее решающим, чем простой принцип большинства: хотя ни один индивидуум не имеет права вето, любая группа из двух голосующих может блокировать коллективное упорядочение двух альтернатив, которое противоречит их собственному.

При ациклической конституции размер наименьшей группы с правом вето зависит от относительного числа альтернатив и индивидуумов. Когда имеются всего две альтернативы, как показал нам пример принципа большинства, наименьшая необходимая группа с правом вето - это половина избирателей. Когда альтернатив столько же, сколько индивидуумов, при любом ациклическом правиле должен найтись хотя бы один индивидуум, который один может наложить вето на некоторую пару альтернатив. В промежуточных случаях, как показывает конституция с большинством в 4/5 голосов, некоторая группа, представляющая меньшинство, имеет право вето. Конституции, которые предоставляют право вето большому числу маленьких групп, по-видимому, приведут в тупик, а не к принятию решения.

Рис. 8. ЭКСТЕНСИВНОЕ ПРАВО ВЕТО типично для всех ациклических конституций, удовлетворяющих первым четырем аксиомам Эрроу. Изображенная здесь конституция, определенная для л голосующих и т альтернатив, может быть описана в терминах минимального числа голосующих, чье согласие необходимо для строгого коллективного предпочтения среди элементов упорядочения пары различных альтернатив. Единодушное согласие необходимо для строгого коллективного предпочтения любой из (m-n+1)(m-1) пар на цветном участке таблицы; таким образом, каждый голосующий имеет право вето на каждую из этих пар при данном правиле. Чтобы показать, что эта конституция не может породить цикла коллективных предпочтений, предположим, напротив, что цикл может возникнуть. По меньшей мере один голосующий не согласен с каждым из звеньев цикла коллективных предпочтений, лежащего в черной области таблицы. Таким образом, даже если различные голосующие не согласны с каждым черным звеном, какой- нибудь голосующий должен быть согласен со всеми, поскольку по крайней мере n-1 пар цикла лежат в данной области. Тот же самый индивидуум должен также быть согласен с каждым цветным звеном цикла. Так как он согласен с каждым звеном цикла, его предпочтения цикличны. Это противоречие доказывает, что на самом деле эта конституция не может иметь цикла. Если m превосходит n, это правило дает каждому голосующему право вето на (m-n+ 1)(m - 1) пар альтернатив. Если отношение m к n велико, это правило непривлекательно, потому что является в высшей степени нерешительным. Однако, как недавно установили авторы, каждое ациклическое правило, удовлетворяющее первым четырем аксиомам Эрроу, дает кому-нибудь право вето по меньшей мере на такое же число пар, если m больше n. Хотя это правило непривлекательно, лучшего в данном случае невозможно найти.

БЕСКОМПРОМИССНЫЙ сторонник равенства утверждал бы, что поскольку некоторые индивидуумы должны обладать правом вето, то этим правом должны обладать все. Однако, чем больше множество обладающих правом вето, тем чаще случаи коллективного безразличия, поскольку безразличие происходит всегда, когда два индивидуума с правом вето упорядочивают х и у в противоположном направлении. Приемлемость ациклических конституций, таким образом, зависит от отношения числа альтернатив к числу индивидуумов. Когда число альтернатив лишь незначительно меньше числа индивидуумов, "маленькая" группа должна быть наделена правом вето, хотя при этом не обязательно, чтобы этим правом обладал отдельный индивидуум. При возрастании числа альтернатив размер наименьшей группы, наделенной правом вето, который требуется для ацикличности, уменьшается. Когда альтернатив столько же, сколько индивидуумов, по меньшей мере один индивидуум должен обладать правом вето на какую-нибудь пару альтернатив. Если число альтернатив продолжает увеличиваться, доля пар, на которые распространяется право вето этого индивидуума приближается к единице.

"Теоремы невозможности", начало которым положило знаменитое предложение Эрроу, определяют ограничения на общественный выбор правила для коллективного принятия решения. Эти ограничения суровы. Три общепризнанные цели - коллективная рациональность, способность принимать решения и равенство власти - оказываются в непримиримом противоречии. Если общество отказывается от коллективой рациональности, тем самым принимая необходимую произвольность и возможность оказывать влияние на нерациональные процедуры, то, по-видимому, принцип большинства обеспечит выбор, потому что с его помощью можно достичь две другие цели. Если общество настаивает на сохранении некоторой степени коллективной рациональности, оно может достигнуть равенства, приняв правило консенсуса, но только ценой крайней нерешительности. Общество может увеличить способность принимать решения, концентрируя право вето во все более узком кругу индивидуумов; самое решающее правило, правило диктатора, является самым неравным. Все это малоутешительно для тех, кто составляет идеальные процедуры коллективного выбора. Тем не менее каждое общество должно производить коллективные выборы и изобретать процедуры голосования, какими бы несовершенными они ни были. Продолжающиеся исследования с помощью аксиоматического метода, начатые Эрроу 33 года назад, привели к более глубокому пониманию существующих методов голосования и, возможно, помогут создать более совершенные. Они также показывают, что возможности для улучшений строго ограничены. Решительные компромиссы неизбежны.

Дуглас Х. Блэйр, Роберт Э. Поллак. Перевод статьи впервые был опубликован в журнале "В мире науки", №10, 1983 г.